עירוב תבשילין

מי שיוולד לו ילד בראש השנה האם מותר לו לבשל ולאפות בשביל קידוש בשבת

אם אדם רוצה להכין בשישי (יום ב' דר"ה) חמין, אבל לא מבושל כל צרכו. ושהפלטה תסיים את הבישול במשך הלילה. האם מובא משהו לגבי זה בפוסקים? שהרי צריך לכאורה שיהיה ראוי לאורחים כבר ביו"ט.

מרן שליט"א כתב שהעירוב תבשילין צריך להיות כזה המתפלת עם פת. האם גם ביצה קשה בגדר זה או רק שלוקה? יש מקור?